Limit tak hingga

Pengertian

Di dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit digunakan dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

Teorema Limit

Definisi dan Teorema Limit. Limit dalam bahasa umum bermakna batas. Ketika belajar matematika beberapa guru yang menyatakan bahwa limit merupakan pendekatan. Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

Teorema Limit Utama

Contoh Soal

Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan.

Limit Bentuk 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a2-b2 = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :

Bentuk ∞/∞

Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Contoh Soal
Coba kalian tentukan

Jawaban

Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞

• Jika m<n maka L = 0
• Jika m=n maka L = a/p
• Jika m>n maka L = ∞

Bentuk Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Berikut contoh soal yang akan kami ambil dari ujian nasional 2013.

Tentukan Limit

Jika kalain masukkan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi,

Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga

Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nilai limit tak terhingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.

ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut. Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

rumus cepat mencari limit tak hingga

Contoh soal

Nilai limit dari

adalah…

A. – ∞

B. – 5

C. 0

D. 5

E. ∞

Pembahasan :

Nilai pangkat tertinggi pada pembilang ialah 3 dan nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.

Jawabannya E

Turunan dan Fungsi Logaritma

Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a> 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan log_a.

Fungsi invers f^–1 didefinisikan sebagai

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.

---

Definisi Fungsi Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan log_a, didefinisikan dengan

Sehingga log_a x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.

---

Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma log_a x = y menjadi bentuk eksponensial a^y = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial

Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.

Penting untuk memahami bahwa log_a xmerupakan suatu eksponen. Sebagai contoh, bilangan-bilangan dalam kolom sebelah kanan dari tabel berikut ini merupakan logaritma (basis 10) dari bilangan-bilangan dalam kolom sebelah kiri.

Contoh 2: Menentukan Nilai Logaritma

1. log₁₀ 1000 = 3 karena 10³ = 1000
2. log₂ 32 = 5 karena 2⁵ = 32
3. log₁₀ 0,1 = –1 karena 10^–1 = 0,1
4. log₁₆ 4 = ½ karena 16^½ =4

Jika kita terapkan Sifat Fungsi Invers kepada f(x) = a^x dan f^–1(x) = log_a x, kita mendapatkan

Kita daftar sifat di atas bersama dengan sifat-sifat logaritma lainnya di bawah ini.

---

Sifat-Sifat Logaritma

1. log_a 1 = 0 karena a⁰ = 1.
2. log_a a = 1 karena a¹ = a.
3. log_a a^x = x karena a^x = a^x.
4. a^loga x = x karena log_a x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.
5. Jika log_a x = log_a y, maka x = y.

---

Contoh 3: Menerapkan Sifat-Sifat Logaritma

Kita ilustrasikan sifat-sifat logaritma di atas seperti berikut.

1. Dengan menggunakan Sifat 1, log₃ 1 = 0.
2. Dengan menggunakan Sifat 2, log_√5 √5 = 1.
3. Dengan menggunakan Sifat 3, log₇ 7⁸ = 8.
4. Dengan menggunakan Sifat 4, 6^{log6 10}= 10.

Kita dapat menggunakan Sifat Korespondensi Satu-Satu (Sifat 5) untuk menyelesaikan persamaan-persamaan logaritma sederhana, seperti yang ditunjukkan dalam Contoh 4.

Contoh 4: Menggunakan Sifat Korespondensi Satu-Satu

1. Log₃x = log₃ 12 ⇒ x = 12
2. Log₁₀ (2x + 1) = log₁₀ 3x ⇒ 2x + 1 = 3x ⇒ 1 = x
3. Log₄ (x² – 6) = log₄ 10 ⇒ x² – 6 = 10 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4

Grafik Fungsi Logaritma

Perhatikan bahwa jika fungsi satu-satu fmemiliki domain A dan range B, maka fungsi inversnya, f^–1 memiliki domain Bdan range A. Karena fungsi eksponensial f(x) = a^x dengan a ≠ 1 memiliki domain himpunan semua bilangan real dan range (0, ∞), maka kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi inversnya, f^–1(x) = log_a x, memiliki domain (0, ∞) dan range himpunan semua bilangan real.

Grafik f^–1(x) = log_a x diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = a^x terhadap garis y = x. Gambar 2 menunjukkan grafik ini untuk kasus a > 1. Fakta bahwa y = a^x(untuk a > 1) merupakan fungsi yang naik secara cepat untuk x > 0, maka menyebabkan y = log_a x merupakan fungsi yang naik secara lambat untuk x > 1.

Karena log_a 1 = 0, maka titik potong fungsi y = log_a x terhadap sumbu-xadalah titik (1, 0). Sumbu-y merupakan garis asimtot dari y = log_a x karena log_a xmendekati –∞ ketika x mendekati 0⁺.

Contoh 5: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Sketsalah grafik f(x) = log₂x.

Pembahasan Untuk membuat tabel nilai-nilai fungsi, kita pilih nilai x yang merupakan pangkat dari 2 sehingga kita mudah dalam menentukan logaritmanya. Kita plot titik-titik ini dan kemudian menghubungkannya dengan kurva halus seperti pada Gambar 3.

Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi yang masuk dalam keluarga fungsi logaritma, yaitu dengan basis 2, 3, 5, dan 10. Grafik-grafik ini digambar dengan mencerminkan grafik-grafik y = 2^x, y = 3^x, y = 5^x, dan y = 10^x terhadap garis y = x. Kita juga dapat melakukan plot titik-titik untuk mensketsa grafik-grafik ini.

Pada dua contoh selanjutnya kita akan menggambar grafik fungsi logaritma dengan melakukan transformasi terhadap grafik-grafik dasar pada Gambar 4.

Contoh 6: Mencerminkan Grafik Fungsi Logaritma

Sketsalah grafik masing-masing fungsi berikut. Nyatakan domain, range, dan asimtot fungsi-fungsi tersebut.

1. g(x) = –log₂x
2. h(x) = log₂ (–x)

Pembahasan

1. Kita mulai dengan menggambar grafik f(x) = log₂x dan kemudian kita cerminkan grafik tersebut terhadap sumbu-x untuk mendapatkan grafik g(x) = –log₂x, seperti yang ditunjukkan Gambar 5(a). Dari grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain g adalah selang (0, ∞), range g adalah himpunan semua bilangan real, dan garis x = 0 merupakan asimtot vertikal grafik fungsi ini.
2. Untuk menggambar grafik h(x) = log₂(–x), kita cerminkan grafik f(x) = log₂xterhadap sumbu-y, seperti yang ditunjukkan Gambar 5(b). Berdasarkan grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain h adalah selang (–∞, 0), range h adalah himpunan semua bilangan real, dan garis x = 0 merupakan asimtot vertikal grafik fungsi ini.

Contoh 7: Menggeser Grafik Fungsi Logaritma

Sketsalah grafik masing-masing fungsi berikut. Nyatakan domain, range, dan asimtot fungsi-fungsi tersebut.

1. g(x) = 2 + log₅x
2. h(x) = log₁₀ (x – 3)

Pembahasan

1. Grafik g dihasilkan dengan menggeser grafik f(x) = log₅x ke atas sejauh 2 satuan, seperti yang ditunjukkan Gambar 6. Dari grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain g adalah selang (0, ∞), range g adalah himpunan semua bilangan real, dan garis x = 0 merupakan asimtot vertikal grafik ini.
   
2. Grafik h dihasilkan dari grafik f(x) = log₁₀x dengan menggesernya ke kanan sejauh 3 satuan, seperti Gambar 7. Dari grafik kita dapat melihat bahwa domain h adalah selang (3, ∞), range hadalah himpunan semua bilangan real, dan grafik x = 3 merupakan asimtot vertikal grafik ini.
   

Logaritma Umum

Sekarang kita akan belajar logaritma dengan basis 10.

Logaritma UmumLogaritma dengan basis 10 disebut sebagai logaritma umum dan dinotasikan dengan menghilangkan basis:

Dari definisi logaritma kita dengan mudah dapat menentukan bahwa

Akan tetapi bagaimana cara kita menemukan nilai log 50? Kita perlu untuk menemukan eksponen ysedemikian sehingga 10^y = 50. Tampak jelas, 1 terlalu kecil dan 2 terlalu besar untuk nilai y. Sehingga

Untuk mendapatkan pendekatan yang lebih baik, kita dapat melakukan beberapa percobaan untuk menentukan pangkat 10 yang menghasilkan bilangan yang dekat dengan 50. Untungnya, kalkulator dan komputer dilengkapi dengan perintah yang dapat digunakan untuk menentukan logaritma umum secara langsung.

Contoh 8: Menentukan Nilai Logaritma Umum

Gunakan kalkulator untuk menentukan beberapa nilai f(x) = log x, dan gunakan nilai-nilai tersebut untuk mensketsa grafik fungsi f.

Pembahasan Kita buat tabel nilai-nilai fungsi f, dan kita gunakan kalkulator untuk menentukan nilai-nilai f pada xyang bukan merupakan pangkat dari 10.

Selanjutnya kita plot titik-titik ini dan menghubungkannya dengan kurva halus, seperti yang ditunjukkan Gambar 8.

Para ilmuwan memodelkan respon manusia terhadap stimulus (seperti suara, cahaya, atau tekanan) menggunakan fungsi-fungsi logaritma. Sebagai contoh, intensitas suatu suara harus ditingkatkan berkali-kali sebelum kita “merasakan” bahwa kekerasan suara tersebut naik dua kali lipat dari sebelumnya. Gustav Fechner merumuskan aturan tersebut sebagai

di mana S adalah intensitas subjektif stimulus, I adalah intensitas stimulus fisik, I₀ adalah ambang dasar intensitas fisik, dan k adalah suatu konstanta yang berbeda untuk setiap stimulus sensor.

Contoh 9: Logaritma Umum dan Suara

Persepsi kekerasan B (dalam desibel, dB) dari suatu suara dengan intensitas fisik I(dalam W/m²) diberikan sebagai

di mana I₀ adalah intensitas fisik suara yang hampir tidak dapat didengar. Tentukan tingkat desibel (kekerasan) suatu suara yang memiliki intensitas fisik I 100 kali dari I₀.

Pembahasan Kita hitung tingkatan Bdengan menggunakan fakta bahwa I = 100I₀.

Jadi, kekerasan suara tersebut adalah 20 dB.

Logaritma Natural

Dari semua kemungkinan basis a untuk logaritma, basis yang mudah digunakan dalam kalkulus adalah bilangan e.

Logaritma NaturalLogaritma dengan basis e disebut sebagai logaritma natural dan dinotasikan dengan ln:

Fungsi logaritma natural y = ln xmerupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial natural y = e^x. Kedua grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 9.

Jika kita substitusi a = e dan menuliskan “ln” untuk “log_e” dalam sifat-sifat logaritma yang kita bahas sebelumnya, kita mendapatkan sifat-sifat logaritma natural sebagai berikut.

---

Sifat-Sifat Logaritma Natural

1. ln 1 = 0 karena e⁰ = 1.
2. ln e = 1 karena e¹ = e.
3. ln e^x = x karena e^x = e^x.
4. e^ln x = x karena ln x merupakan pangkat dari e untuk menjadi x.
5. Jika ln x = ln y, maka x = y.

---

Kalkulator dan komputer dilengkapi dengan perintah yang dapat digunakan untuk menentukan nilai logaritma natural secara langsung.

Contoh 10: Menentukan Nilai Fungsi Logaritma Natural

Gunakan sifat-sifat logaritma natural atau kalkulator untuk menentukan nilai fungsi f(x) = ln x pada masing-masing nilai x berikut ini.

1. x = e⁸
2. x = 1/e²
3. x = 5

Pembahasan

1. Dengan menggunakan sifat yang ketiga, kita mendapatkan ln e⁸ = 8.
2. Pertama, kita ubah nila x = 1/e² menjadi nilai yang setara yaitu x = e^–2, sehingga kita mendapatkan ln (1/e²) = ln e^–2 = –2.
3. Dengan menggunakan kalkulator kita bisa menghitung ln 5 ≈ 1,609.

Contoh 11: Menentukan Domain Fungsi-Fungsi Logaritma

Tentukan domain masing-masing fungsi berikut.

1. f(x) = ln(x – 3)
2. g(x) = ln(3 – x)
3. h(x) = ln(4 – x²)

Pembahasan

1. Karena ln(x – 3) terdefinisi hanya ketika x – 3 > 0, maka domain f adalah (3, ∞). Gambar 10(a) menunjukkan grafik f.
2. Karena ln(3 – x) terdefinisi hanya ketika 3 – x > 0, maka domain g adalah (–∞, 3). Gambar 10(b) menunjukkan grafik g.
3. Karena ln(4 – x²) terdefinisi hanya ketika 4 – x² > 0. Sehingga x² < 4. Atau dengan kata lain |x| < 2. Oleh karena itu kita mendapatkan domain dari hadalah (–2, 2). Grafik fungsi hditunjukkan oleh Gambar 10(c).

Contoh 12: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Gambarlah grafik fungsi y = x ln(4 – x²), dan gunakan grafik tersebut untuk menemukan asimtot serta maksimum dan minimum lokal.

Pembahasan Seperti yang telah dibahas pada Contoh 11, domain fungsi ini adalah selang (–2, 2), sehingga kita gunakan domain ini untuk menggambar grafik fungsi y = x ln(4 – x²). Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 11, dan dari gambar ini kita dapat melihat bahwa garis x = –2 dan x = 2 merupakan asimtot vertikal grafik fungsi tersebut.

Fungsi tersebut memiliki titik maksimum lokal yang terletak di sebelah kanan x = 1 dan titik minimum lokal yang terletak di sebelah kiri x = –1. Dengan melakukan pengamatan yang lebih teliti pada grafik di atas, kita menemukan bahwa nilai maksimum lokalnya sekitar 1,13 dan terjadi pada x ≈ 1.15. Dengan cara yang sama (karena fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil), kita dapat menemukan bahwa nilai minimum lokalnya adalah –1,13 dan terjadi ketika x≈ –1,15.

Contoh 13: Model Daya Ingat Manusia

Para mahasiswa yang mengikuti percobaan psikologi, menghadiri beberapa perkuliahan pada satu mata kuliah tertentu dan melakukan tes. Setiap bulan dalam satu tahun, setelah dilakukan tes, para mahasiswa tersebut melakukan tes kembali untuk melihat seberapa banyakkah materi yang mereka ingat. Skor rata-rata dari mahasiswa tersebut dapat dirumuskan oleh model daya ingat manusia f(t) = 75 – 6 ln(t + 1), 0 ≤ t ≤ 12, di mana t adalah waktu dalam bulan.

1. Berapakah skor rata-rata pada tes awal (t = 0)?
2. Berapakah skor rata-rata pada akhir t = 2 bulan?
3. Berapakah skor rata-rata pada akhir t = 6 bulan?

Pembahasan

1. Skor rata-rata pada tes awal adalah
   
2. Setelah 2 bulan, skor rata-rata tes ulang yang dilakukan adalah
   
3. Setelah 6 bulan, skor rata-ratanya adalah
   

Grafik dari model daya ingat manusia pada permasalahan ini dapat ditunjukkan oleh Gambar 12 berikut.