Matriks dengan menggunaan metode Gouss-jordan dan Cramer

---

Eliminasi Gauss adalah metode eliminasi yang sering di sebut juga dengan transformasi elementer. Caranya dengan mengubah elemen baris atau kolom dalam matriks diubah menjadi vektor 0. 

Ciri-ciri Metode Gauss :

• Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertamanya adalah 1 
• Baris nol terletak paling bawah 
• Angka 1 berikutnya berada di baris ke 2 kolom 2
• Dibawah angka 1 harus nol

Kelebihan dan Kekurangan :

Keuntungan :

• Menentukan apakah sistem konsisten
• Menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap angka
• Lebih mudah untuk memecahkan

Kelemahan :

• Memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal.

Contoh Soal : 

Tentukan rank dari matriks B di bawah ini dengan menggunakan metode eliminasi gauss.

Dari hasil transformasi diperoleh matriks identitas berukuran 2×2, sehingga rank dari matriks B adalah 2 (rank(B) = 2).

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

---

Eliminasi Gauss Jordan adalah pengembangan dari Eliminasi Gauss. yang nantinya hasil dari eliminasi lebih sederhana, caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang eselon (matriks identitas).

➔  Matriks Identitas (I)

Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol.

Contoh Soal : 

Tentukan rank dari matriks A di bawah ini dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan.

  Metode Cramer

  

Setelah kita memahami cara penulisan sistem persamaan linear dengan matriks, kita dapat menyelesaikan persamaan linear tersebut dengan menggunakan matrik, operasi baris elementer dan cramer. Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B  adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X₁ = det (A₁) / det (A)

X₂ = det (A₂) / det (A)

X_n = det (A_n) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :

-x₁   +  x₂   +  2x₃  = -5

2x₁  -   x₂   +  x₃    =  1

x₁    +  x₂     -   x₃    =  5

jawab :

bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+  1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}

 ={ (-1  + 1 + 4) – (-2 +  (-1) + (-2)}    = { 4 – (-5)}    ={ 4 + 5}      = 9

Det A₁ =

Det A₁ = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10  +  (-5)  +  (-1) ) = 2 + 16 = 18

Det A₂=

Det A₂= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9

Det A₃=

Det A₃= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :

X₁= Det (A_{1 )}/ Det (A)  = 18 /9 = 2

X₂ = Det (A_{2 )}/ Det (A) = 9 / 9 = 1

X₃ = Det (A_{3 )}/ Det (A) = -18 / 9 = -2

Jadi pemecahan untuk SPL  tersebut adalah :

                                 X₁= 2  ,       X₂=  1  ,         X₃= -2