Determinan dengan menggunakan metode OBE

A. 3 Langkah Determinan Matriks 3×3 Metode OBE

Matriks 3×3

Unsur matriks 3×3 yaitu:

$\large A = \begin{bmatrix} a\sb{11} &a\sb{12} &a\sb{13} \\ a\sb{21} &a\sb{22} &a\sb{23} \\ a\sb{31} &a\sb{32} &a\sb{33} \end{bmatrix}$

Ubah elemen matriks dengan huruf abjad a – i, maka:

$\large A = \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix}$

Sifat-Sifat Determinan

Sifat-sifat determinan yang berkaitan dengan OBE matriks, yaitu:

Jika matriks A sembarang merupakan matriks segitiga (atas, bawah) atau diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya.
Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu barisnya dijumlahkan atau dikurangi dengan baris atau kelipatan baris lainnya, maka determinan A’ = determinan A.

Sebenarnya ada beberapa sifat-sifat OBE lainnya yang dapat digunakan dalam mencari determinan.
Tapi, daripada bikin kamu jadi bingung.
Sebaiknya satu sifat OBE matriks saja yang digunakan untuk mencari determinan, yaitu:
“Menjumlahkan atau mengurangi satu baris dengan baris atau kelipatan baris lainnya”
Contoh rumusnya seperti ini.

$\large R2 - \frac{1}{2}R3$

$\large R3 + R1$

$\large R1 - 4R2$

$\large R3 + \frac{5}{2}R2$

Pesan saya, perhatikan pola rumusnya!

Baris di sebelah kiri operasi penjumlahan atau pengurangan tidak boleh dikali atau dibagi dengan konstanta.
Baris di sebelah kanan operasi penjumlahan atau pengurangan boleh dikali atau dibagi dengan konstanta.

Kunci

Ya …lagi dan lagi saya sampaikan bahwa…
Kunci OBE matriks adalah elemen diagonal utama, yaitu elemen a, e, dan i.
Determinan matriks 3x3 OBE Kunci

Contohnya rubah elemen g menjadi nol, maka rumus OBE harus menggunakan elemen a sebagai kunci kolom pertama.
Penggunaan lebih jelasnya diberikan dalam contoh perhitungan determinan selanjutnya.

Matriks Segitiga Atas

Yaitu sebuah matriks persegi yang elemen-elemen a_ij = 0, dengan i > j.

Atau dalam hal ini hanya elemen d, g, dan h yang berisi angka nol.

Determinan cara Matriks Segitiga Atas: Determinan matriks 3x3 matriks segitiga atas

“Merubah matriks menjadi matriks segitiga atas, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal utama”.

Contoh Soal
Hitunglah determinan matriks 3×3 berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

$\large B = \begin{bmatrix} 2 &5 &-1 \\ 3 &-4 &2 \\ 1 &5 &-3 \end{bmatrix}$

$\large C = \begin{bmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &-2 &3 \\ 3 &7 &4 \end{bmatrix}$

Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e
Maka, determinan dari matriks:

Det A $\large = (-2)(5)(-1,7) = 17$

Det B $\large = (2)(-11,5)(-\frac{40}{23}) = 40$

Det C $\large = (1)(-1)(18) = -18$

Matriks Segitiga Bawah

Yaitu sebuah matriks persegi yang elemen-elemen a_ij = 0, dengan i < j.
Atau dengan kata lain hnya elemen b, c, dan f yang berisi angka nol.
Determinan cara Matriks Segitiga Bawah: determinan matriks3x3 matriks segitiga bawah

“Merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal utama”.

Contoh Soal
Dari contoh soal yang sama, hitunglah determinan matriks 3×3 berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

$\large B = \begin{bmatrix} 2 &5 &-1 \\ 3 &-4 &2 \\ 1 &5 &-3 \end{bmatrix}$

$\large C = \begin{bmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &-2 &3 \\ 3 &7 &4 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.
Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Maka, determinan dari matriks:

Det A $\large = (4,25)(-0,5)(-8) = 17$

Det B $\large = (20)(-\frac{2}{3})(-3) = 40$

Det C $\large = (\frac{18}{29})(-7,25)(4) = -18$

Selesai sudah pembahasan determinan matriks 3×3.

B. Invers Matriks 4×4 Metode OBE Kunci K

Matriks 4×4

Bentuk umum:

$\Large A= \begin{bmatrix}a\sb{11} &a\sb{12} &a\sb{13} &a\sb{14} \\a\sb{21} &a\sb{22} &a\sb{23} &a\sb{24} \\a\sb{31} &a\sb{32} &a\sb{33} &a\sb{34} \\a\sb{41} &a\sb{42} &a\sb{43} &a\sb{44} \end{bmatrix}$

Nama elemen matriks diganti dengan huruf a – p, sehingga matriks:

$\Large A = \begin{bmatrix}a &b &c &d \\e&f &g &h \\i &j &k &l \\m &n &o &p \end{bmatrix}$

Invers Matriks 4×4

Caranya sederhana yaitu menambahkan matriks identitas di sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right]$

Lakukan OBE hingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan invers matriks pun diperolah yaitu matriks sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p \end{matrix}\right]$

Namun, pada saat mengerjakannya tidaklah sesederhana itu. Seringkali kita kesulitan dan muter-muter tidak jelas.
Oleh karena itu, saya tawarkan dua hal yaitu “Kunci” sebagai patokan rumus OBE dan “K” sebagai urutan langkah OBE.

Kunci

Kunci OBE adalah diagonal utama matriks yaitu:

Elemen a adalah kunci kolom pertama
Elemen f adalah kunci kolom kedua
Elemen k adalah kunci kolom ketiga
Elemen p adalah kunci kolom keempat

Fungsinya sebagai patokan atau acuan rumus OBE tiap kolom.
Contohnya mengubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci a.

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 &1 \\5&9 &6 &7 \\-1 &7 &-3 &-5 \\8 &-2 &-4 &-6 \end{bmatrix}$

R4-2R1

$\huge \Rightarrow$

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 &1 \\5&9 &6 &7 \\-1 &7 &-3 &-5 \\0 &2 &-10 &-8 \end{bmatrix}$

“K”

Pada prinsipnya OBE K sama dengan Eliminasi Gauss Jordan yaitu menghasilkan matriks eselon baris tereduksi.
Fungsinya hanya memandu langkah pengerjaan OBE agar lebih efisien.
Invers Matriks 4x4 Metode OBE K

Urutan lengkapnya yaitu e – i – m – n – j – o – p – l – k – h – d – c – g – f –b – a.

Aturannya yaitu ubah elemen berwarna merah menjadi angka nol dan elemen berwarna hijau menjadi angka satu.

Contoh Soal

Dua contoh matriks yang saya bahas memenuhi syarat suatu matriks mempunyai invers yaitu determinan ≠ 0.
Contoh: Tentukan invers matriks berikut ini!

$\large C = \begin{bmatrix} 8 &-8 &8 &-8 \\ 2&4 &3 &-1 \\ 1 &3 &7 &0 \\ -3 &1 &4 &1 \end{bmatrix}$

$\large D = \begin{bmatrix} 2 &-1 &5 &11 \\2&8 &9 &8 \\4 &-11 &-10 &-7 \\-2 &4 &7 &6 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Tambahkan matriks identitas.
Khusus untuk mengubah elemen e menjadi nol, kita bisa menggunakan elemen yang lebih mudah dihitung.
Ubah elemen i menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
Ubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci elemen a.

5. Ubah elemen n menjadi nol menggunakan kunci elemen f. Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K5

6. Ubah elemen j menjadi nol menggunakan kunci elemen f.

7. Ubah elemen o menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

8. Ubah elemen p menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K8

9. Ubah elemen l menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

10. Ubah elemen k menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K10

11. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

12. Ubah elemen d menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

13.Ubah elemen c menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

14. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

15. Ubah elemen f menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K15

16. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen f.

17. Ubah elemen a menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K17

Sehingga invers matriks C dan D yaitu:

$\Large C^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{272} &-\frac{15}{68} &\frac{25}{68} &-\frac{29}{68} \\ -\frac{7}{272} &-\frac{19}{68} &-\frac{9}{68} &\frac{5}{68} \\\frac{1}{68} &-\frac{3}{34} &\frac{5}{34} &\frac{1}{34} \\-\frac{15}{136} &-\frac{10}{17} &\frac{11}{17} &-\frac{8}{17} \end{bmatrix}$

$\Large D^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{160} &\frac{103}{480} &\frac{71}{480} &-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{20} &\frac{1}{60} &-\frac{13}{60} &-\frac{11}{30} \\ -\frac{17}{80} &-\frac{11}{5} &-\frac{27}{5} &-\frac{48}{5} \\ \frac{1}{5} &-\frac{1}{10} &-\frac{1}{5} &-\frac{3}{10}\end{bmatrix}$

Invers Matriks 4×4: OBE Kunci K > OBE Genap

Kalkulus 1

Sabtu, 06 Oktober 2018

Determinan Dengan Menggunakan Metode OBE

Matriks 3×3

Sifat-Sifat Determinan

Kunci

Matriks Segitiga Atas

Matriks Segitiga Bawah

B. Invers Matriks 4×4 Metode OBE Kunci K

Matriks 4×4

Invers Matriks 4×4

Kunci

“K”

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Limit tak hingga

Laporkan Penyalahgunaan