Diagonalisasi matriks

DIAGONALISASI

Masalah Diagonalisasi. Diberikan sebuah operator linier T : V → V pada sebuah ruang vector berdimensi berhingga, apakah terdapat sebuah basis untuk V terhadap mana matriks T diagonal?

     Jika A adalah matriks untuk T : V→ Vyang bertalian dengan beberapa basis sembarang, maka soal ini ekivalen dengan menanyakan apakah terdapat perubahan basis sehingga matriks baru untuk Tdiagonal. Menurut teorema 8 dalam bagian 5.5, matriks baru untuk T akan sama dengan P^-1 AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Jadi, kita sampai kepada perumusan matriks berikut yang berbentuk masalah diagonalisasi.

Bentuk matriks dari masalah diagonalisasi. Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal?

Masalah ini menyarankan definisi – definisi berikut.

Definisi.  Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi ( diagonalizable)jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P^-1 AP diagonal; matriks Pdikatakan mendiagonalisasi A.

      Teorema berikut adalah alat dasar dalam pengkajian diagonalisasi; buktinya akan mengungkapkan bagaimana mendiagonalkan matriks.

Teorema 2. Jika A adalah matriks n × n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.

 

(a)    A dapat didiagonalisasi.

(b)   A mempunyai n vector eigen bebas linier

Bukti (a) → (b). karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat di balik

P= 

Sehingga P^-1  AP diagonal, katakanlah P^-1 AP = D, dimana

D= 

Maka, AP = PD ; yakni

AP =  (6.4)

Jika sekarang kita misalkan p₁, p₂, . . . , p_nmenyatakan vector – vector kolom P, maka bentuk (6.4) kolom – kolom AP yang berurutan adalah λ₁P₁,λ₂P₂, . . . , λ_nP_n . akan tetapi, dari contoh 18 bagian 1.4 kolom – kolom AP yang berurutan adalah Ap₁, Ap₂, . . . ,Ap_n. jadi, harus kita memperoleh

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂ =  λ₂P_{2, . . . ,} Ap_n = λ_nP_n         (6.5)

Karena P dapat dibalik, maka vector – vector kolomnya semuanya tak nol; jadi menurut (6.5), λ_1, λ_2, . . . , λ_n adalah nilai – nilai eigen A, dan p₁, p₂ , . . . , p_n adalah vector – vector eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, maka teorema 15 dalam bagian 6.4 diperoleh bahwa p₁, p₂ , . . . , p_n bebas linier. Jadi, A mempunyai n vector eigen bebas linier.

(b)   → (a) anggaplah bahwa A mempunyai n vector eigen bebas linier, maka p₁, p₂ , . . . , p_n dengan nilai eigen yang bersesuaian λ₁, λ₂, . . . , λ_n dan misalkan

P= 

Adalah mastriks yang vector – vector kolomnya adalah p₁, p₂ , . . . , p_n. menurut contoh 17 pada bagian 1.4, kolom – kolom dari hasil kali AP adalah

Ap_1, Ap_2, . . . , Ap_n

Tetapi

Ap₁ = λ₁P₁, AP₂ =  λ₂P_{2, . . . ,} Ap_n = λ_nP_n

Sehingga

AP= =  =PD   (6.6)

Nilai dan vektor Eigen

Matriks ${\displaystyle A}$ menyebabkan vektor ${\displaystyle x}$ memanjang tanpa mengubah arah vektor, maka ${\displaystyle x}$ merupakan vektor Eigen dari ${\displaystyle A}$

Nilai Eigen (${\displaystyle \lambda }$) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen (${\displaystyle x}$) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.^[1][2] Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks.^[1][3] Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen.^[1] Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.^[4]
Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut.^[5] Ruang Eigen dari ${\displaystyle \lambda }$ merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan ${\displaystyle \lambda }$ yang digabungkan dengan vektor nol.^[6] Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.^[7]

Persamaan dan Polinomial Karakteristik

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel λ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen.^[1][8] Polinomial karakteristik (${\displaystyle f(\lambda )}$) adalah fungsi dengan variabel ${\displaystyle \lambda }$ yang membentuk persamaan karakteristik.^[1][8] Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.^[1]

${\displaystyle Ax=\lambda x}$

${\displaystyle Ax-\lambda x=0}$

Diketahui sifat identitas matriks di mana ${\displaystyle vI=v}$, maka

${\displaystyle (A-\lambda )x=0}$

${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$

Ket: ${\displaystyle A}$ = matriks n x n, ${\displaystyle \lambda }$ = nilai Eigen (bernilai skalar), ${\displaystyle I}$ = matriks identitas, dan ${\displaystyle x}$ = vektor Eigen (vektor kolom n x 1)

Syarat-syarat

Nilai dan vektor Eigen sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:^[3]

• ${\displaystyle (A-\lambda I)}$ tidak memiliki invers atau ${\displaystyle det(A-\lambda I)=0}$
• ${\displaystyle x\neq 0}$

Bukti

${\displaystyle x=Ix}$

Asumsikan bahwa A memiliki invers, maka berlaku ${\displaystyle v}$⁻¹${\displaystyle v=I}$.^[9]

${\displaystyle x=((A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle (A-\lambda I))x}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle ((A-\lambda I)x)}$

${\displaystyle x=(A-\lambda I)}$^-1 ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle x=0}$

Dari perhitungan di atas, diperoleh ${\displaystyle x=0}$ yang bertentangan dengan salah satu syarat.^[1][3] Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kedua syarat saling mempengaruhi dan tidak boleh dilanggar.^[1][3]

Perhitungan Nilai dan Vektor Eigen

Perhitungan nilai dan vektor Eigen tetap mengguankan perhitungan matriks dasar, yaitu penjumlahan matriks dan perkalian matriks.^[1][2] Perhitungan dimulai dengan mencari nilai Eigen, kemudian dengan nilai Eigen diperoleh (dapat berjumlah lebih dari 1 nilai) akan dihitung vektor Eigen untuk masing - masing nilai yang memenuhi persamaan.^[1][2][3]

Contoh

Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.^[2]

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}}$

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A.^[1][2] Pertama - tama akan dihitung polinomial karakteristik dari matriks A:

${\displaystyle f(\lambda )=det(A-\lambda I)}$

${\displaystyle f(\lambda )=det\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)=det{\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle f(\lambda )=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4}$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik:

${\displaystyle f(\lambda )=0}$

${\displaystyle -\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0}$

${\displaystyle \lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0}$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

${\displaystyle (\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan ${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$, maka akan diperoleh suatu persamaan baru. ^[2]

${\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x=0}$

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}}$

Vektor Eigen untuk masing - masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.^[2] Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk ${\displaystyle \lambda =4}$ adalah

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}}$