Kalkulus 1: September 2018

A. Determinan Matriks

Determinan Matriks adalah sebuah angka atau skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu.

B. Sifat-Sifat Determinan

1. Jika setiap elemen suatu baris atau kolom dari suatu matriks bujur sangkar A bernilai nol, maka det (A) = 0.

2. Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka det (A) = det (A^T).

3. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom pada determinan dari matriks A dikalikan dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan, atau : det(kA) = k.det(A).

4. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan cara mempertukarkan dua baris atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).

5. Jika dua baris atau kolom matriks A identik, maka det(A) = 0 Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom yang lain.

6. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka det(AB) = det(A) det(B).

C. Cara Menentukan Nilai Determinan

Matriks berordo 2 x 2
Matriks berordo 3 x 3
Matriks berordo n x n

Dengan matriks kofaktor
Dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

1. Menentukan nilai determinan matriks berordo 2 x 2

2. Menentukan nilai determinan matriks berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus

3. Menentukan determinan matriks n x n dengan matriks Kofaktor

a. Minor dari suatu matriks bujur sangkar A adalah harga determinan sub matriks yang tetap, setelah menghilangkan baris ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i dan kolom ke j, dinotasikan dengan Mij.
b. Kofaktor dari suatu matriks bujur sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu cij = (-1)i+j Mij

Ada 2 cara, yaitu :
* Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i : det(A) = ai1ci1 + ai2ci2 + … + aincin
* Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j : det(A) = a1jc1j + a2jc2j + … + anjcnj

4 .Menentukan determinan matriks n x n dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

a. Menukarkan dua baris Notasi = bij Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j

b. Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0 Notasi = k.bi Arti = mengalikan setiap elemen dari baris ke- i, dengan skalar k, k ≠ 0

c. Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris ke- j (k ≠ 0) Notasi= bij(k) Arti = bi + k bj (Perubahan terjadi pada bi).

5. Menentukan Determinan Matriks dengan TBE Langkah :

a. Dengan menggunakan TBE, ubahlah matriks yang ada, menjadi Matriks Segitiga Atas / Bawah.
b. Harga determinannya adalah perkalian antar elemen–elemen pada diagonal utamanya.

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$ tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ = $\begin{bmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$ = detM = a₂₂a₃₃x a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

$\begin{bmatrix} +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ +&-&+&-&+&\cdots\\ -&+&-&+&-&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\ \end{bmatrix}$

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23}\\ \end{bmatrix}$ = detM = a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ $\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$ - a₁₂ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$ + a₁₃ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁+ a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:

det(A) = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix}$ = 1 $\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}$ - 2 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ $\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$ - a₂₁ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{bmatrix}$ + a₃₁ $\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{bmatrix}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁+ a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

Jawab:

det(A) = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 4\\ 3 & 2 & 1\\ \end{bmatrix}$ = 1 $\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}$ - 4 $\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}$ + 3 $\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}$ = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3x3

A = $\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&14&0\\ \end{bmatrix}$

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

$\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}$

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}$

[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka

d e t (A)

adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

$det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

Contoh

$\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}$ = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

[sunting] Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

$X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}$

dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -3 & 4 & 6\\ -1 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ b = $\begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}$

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = $\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₂ = $\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}$ A₃ = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}$

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

$x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}$

$x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}$

$x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}$

[sunting] Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,...,E_rmenjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A= $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 4 & 6\\ \end{bmatrix}$

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

[sunting] Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = $\begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\\ \end{bmatrix}$ tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

[sunting] Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

[sunting] Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A = $\begin{bmatrix} 3 & 2 & -1\\ 1 & 6 & 3\\ 2 & -4 & 0\\ \end{bmatrix}$

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

menjadi matrix kofaktor

$\begin{bmatrix} 12 & 6 & -16\\ 4 & 2 & 16\\ 12 & -10 & 16\\ \end{bmatrix}$

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi

adj(A) = $\begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)$

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

d e t (A) = 64

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12\\ 6 & 2 & -10\\ -16 & 16 & 16\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\ \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\ -\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\ \end{bmatrix}$

[sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

      Ax = λx    ; dimana λ adalah skalar

sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi

      (λI - A) x = 0

contoh:

diketahui persamaan linear

      x₁ + 3x₂ = λx₁
    4x₁ + 2x₂ = λx₂

dapat ditulis dalam bentuk

       = λ

yang kemudian dapat diubah

A = $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}$ dan x = $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}$

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ

λ

     Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {λ}-1 & -3\\ -4 & {λ}-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}

sehingga didapat bentuk

     λ I - A = Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {λ}-1 & -3\\ -4 & {λ}-2\\ \end{bmatrix}

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

     det (λ I - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

     det (λ I - A) = Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {{λ-1}} & -3\\ -4 & {{λ-2}}\\ \end{bmatrix}
= 0

atau λ^2 - 3λ - 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂= 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁= t

x =

Kalkulus 1

Selasa, 25 September 2018

Materi Determinan