Kamis, 03 Januari 2019

Tranformasi linear

TRANSFORMASI LINEAR

A. PENGANTAR TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor danF adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika Fmengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawahF. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalahR².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektorW, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnyaF:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂di Vdan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x ntetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m^.lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya adalah sebuah sudut tetap, dan misalnya T : 2ⁿàR² adalah perkalian oleh matriks

Jika v adalah vektor

Maka

Secara geometris, maka adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikann melalui sudut. Untuk melihat ini, maka misalkan adalah sudut diantara v dan sumbu x positif, dan misalkan

Adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut pada gambar di bawah. Kita akan memperlihatkan . Jika r menyatakan panjangnya sebagai v, maka

Demikian juga, karena mempunyai panjang yang sama seperti v, maka kita peroleh

Sehingga

Transformasi linear pada contoh ini kita namakan perputaran R² melalui sudut .

Contoh 3

Misalkan Vdan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V à W sehingga T(v) = 0 untuk setiap v di V adalah sebuah transformasi linear yang kita namakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa Tlinear, perhatikan bahwa

Maka

Contoh 4

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan V = R³ mempunyai hasil jail dalam euclidis. Vektor-vektor w₁ = (1, 0, 0) dan w₂= (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. jadi, jika v = (x, y, z) adalah sebarang vektor di R³, maka proyeksi orthogonal dari R³ pada bidang xy di berikan oleh

(x, y, z)

(x, y, z)

T(v)

Contoh 5

Misalkan V adalah sebuah ruang hasil kali dalam dan misalkan v₀ adalah sebarang vektor tetap di V. misalkan T : V R adalah transformasi yang memetakan vektor v ke dalam hasil kali dalamnya dengan V₀ ; yakni

Dari sifat-sifat hasil kali dalam maka

Contoh 6

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = ( w₁, w₂,…….., w_n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut Teorema 29 dari bagian 4.10 maka sebarang dua vektor dan v di V dapat dituliskan secara unik dalam bentuk

Jadi

Tetapi

Sehingga

Maka

Demikian juga, untuk matriks koordinat kita peroleh

Misalkan kita ambil T : V à Rⁿsebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di Vdimana vektor koordinatnya bersesuaian terhadap S ; yakni

Maka rumus-rumus di T, pada a dan b menyatakan bahwa

Dan

Jadi, T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rⁿ.

B. SIFAT TRANSFORMASI LINEAR : KERNEL DAN JANGKAUAN

Pada bagian ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita memperlihatkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

Teorema 1.Jika T:V W adalahtransformasi linier, maka :

(a) T(0) = 0

(b) T(-v) = -T(v) untuksemua v di V

Bukti, Misal v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

Yang membuktikan (a).

Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang membuktikan (b).

Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi

T(v-w) = T(v + (-1)w)

= T(v) + (-1) T(w)

= T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel(ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunantersebutdinyatakanoleh R(T).

Teorema 2.Jika V:T W adalahtransformasi linear, maka :

(a) Kernel dari T adalahsubruangdari V.

(b) Jangkauandari T adalahsubruangdari W.

Bukti.

(a) Untuk memperlihatkan bahwa ker(T) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa ker(T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v₁ dan v₂adalah vektor-vektor dalam ker(T), dan misalkan k adalah sebarang skalar. Maka

T (v₁+ v₂ ) = T(v₁) + T(v₂)

= 0 + 0 = 0

Sehingga v₁+ v₂berada dalam ker(T). Juga,

T(k v₁) = kT(v₁) = k0 =0

Sehingga k v₁berada dalam ker(T).

(b) Misalkan w_{1 dan}w₂adalah vektor dalam jangkauan T. Untuk membuktikan bagian ini maka harus kita perlihatkan bahwa w₁+ w₂dan k w₁berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar k; yakni, kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a) = w₁ + w₂ dan T(b) = k w₁.

Karena w₁ dan w₂ berada dalam jangkauan T, maka vektor a₁dan a₂ dalam V sehingga T(a₁) = w₁ dan T(a₂) = w₂. Misalkan a = a₁+a₂ dan b = ka₁. Maka

T(a) = T(ka₁) = kT(a₁) = kw₁

Yang melengkapkan bukti tersebut.

Definisi.Jika T:V W adalahtransformasi linear, makadimensijangkauandari T dinamkanrankT, dandimensi kernel dinamakannulitas (nullity) T.

Teorema kita berikutnya menghasilkan hubungan diantara rank dan nulitasn dari transformasi linear yang yang didefinisikan pada ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menagguhkan buktinya hingga ke akhir bagian ini.

Teorema 3: (TeoremaDimensi). Jika T:V W adalahtransformasi linear dariruang vector V yang berdimensi n kepadasebuahruang vector W, maka:

(rankdari T) + (nulitasdari T) = n……(5.4)

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya.

Dalam kasus-kasus ndimana V = Rⁿ , W = R^m , dan T:V à W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n , berikutnya dari (5.4) dan contoh lain diatas bahwa:

Rank(A) = dim(ruang pemecahan Ax = 0) = n

Teorema 4.

Jika A adalahmatriks m x n makadimensiruangpemecahandari Ax = 0 adalah

n = rank(A)

Jadi, kita punya teorema berikut.

Jelasnya, teorema ini menyatakan bahwa dimensi ruang pemecahan Ax = 0 sama dengan jumlah kolom A kurang rank A.

PERNYATAAN. Karena system linear homogen Ax = 0 harus konsisten, berikutnya dari teorema 18. Bagian 4.6 bahwa rank matriks A sama dengan jumlah parameter dalam pemecahan Ax = 0. Dengan menggunakan hasil ini dengan teorema 4, selanjutnya dengan mengacu pada ruang pemecahan Ax = 0 akan sama dengan jumlah kolom A kurang jumlah parameter dalam pemecahan Ax= 0

Contoh

Pada contoh contoh sebelumnya kita telah memperlihatkan bahwa system homogeny

2x₁ + 2x₂ – x₃+x₅ = 0

-x₁ + x_{2 +}2x₃ – 3x₄+ x₅= 0

X₁+x₂ – 2x₃ - x₅= 0

X₃+ x₄+ x₅= 0

Mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan system tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien

Sehingga rank (A) = 3. Anda dapat memeriksa hasil ini dengan mereduksi A pada bentuk eselon baris dan dengan memperlihatkan bahwa matriks yang dihasilkan mempunyai tiga baris tak 0.

Bukti teorema 3.

Kita harus memperlihatkan bahwa

Dim [R(T)] + dim [ker(T] + n

Kita akan memberikan bukti tersebut untuk kasus dimana 1≤dim[ker(T)≤. Kasus dim[ker(T)] = 0 dan dim [ker(T)] = n sengaja kami biarkansebagai latihan anda. Anggaplah dim [ker(T)] = r, dan misalkan v₁,…., v_r adalah sebuah basis untuk kernel tersebut. Karena {v₁,……,v_r} bebas linear, maka bagian (c) dari teorema 11 dalam bagian 4.5 menyatakan bahwa terdapat n-r vector, v_r+1,….v_n, sehingga {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} adalah sebuah basisi untuk V. untuk melengkapkan bukti tersebut, kita akan memperlihatkan bahwa vector ke n-r dalam himpunan S= {T(v_r+1),…, T(v_n) membentuk sebuah basis untuk jangkauan T. maka jelaslah bahwa :

Mula-mula kita memperlihatkan bahwa S merentang jangkauan T. jika b adalah sembarang vector dalam jangkauan T, makan b = T(v) untuk suatu vector v dalam V. karena {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} adalah basis untuk V, maka dapat dituliskan dalam bentuk

Karena v₁,…, v_r terletak dalam kernel T, maka T(v₁) = … = T(v_r) = 0, sehingga

Jadi, S merentang jangkauan T.

Akhirnya, kita memperlihatkan bahwa S adalah sebuah himpunan bebhas dan sebagai konsekuansinya maka akan membentuk basis untuk jangkauan T. misalkan suatu kombinasi linear dari vector-vektor di S adalah nol; yakni,

Kita harus memperlihatkan bahwa k_r+1 = … = k_n =0. Karena T linear,maka (5,5) dapat dituliskan kembali sebagai

Yang mengatakan bahwa k_r+1v_r+1 + … + k_nv_n = berada dalam kernel T. maka vector ini dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis {v₁, …, v_r} katakanlah,

Jadi,

Karena {v₁, …, v_n} bebas linear, maka semuanya k sama dengan nol; khususnya k_r+1 = … = k_n =0, yang melengkapi bukti tersebut .

Vektor basis linear

Himpunan bebas linear yang membangun suatu ruang vektor merupakan basis dari ruang vektor tersebut.

Coba perhatikan ruang vektor $\mathbb{R}^2$ yang dapat digambarkan dalam sistem koordinat XY. Setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan $\vec{i}=(1,0)$ dan $\vec{j}=(0,1)$ dengan tepat satu cara. Sebagai contoh, vektor $(4,3)$ dapat dinyatakan sebagai

$\begin{align*} (4,3)&= (4,0)+(0,3) \\ &= 4(1,0)+3(0,1) \\ &= 4 \vec{i}+3 \vec{j} \end{align*}$

Nah, apa yang akan terjadi jika kita menambahkan sebuah sumbu pada sistem koordinat tersebut? Misalnya kita menambahkan sumbu w yang membentuk sudut $45^{\circ}$ terhadap sumbu x. Salah satu vektor yang berada pada sumbu w adalah $\vec{u}=(2,2)$ . Vektor satuan pada sumbu w dapat ditentukan dengan membagi vektor $\vec{u}$ dengan panjangnya, yaitu $2\sqrt{2}$ .

$\vec{v} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2,2)= \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Sebelumnya, kita telah menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ secara tunggal. Namun, jika kita melibatkan vektor satuan $\vec{v}$ , terdapat tak berhingga cara untuk menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , dan $\vec{v}$ . Beberapa di antaranya adalah

$\begin{align*} (4,3) &= 4(1,0) + 3(0,1) + 0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\vec{i}+3\vec{j}+0\vec{v} \\ (4,3) &= 3(1,0) + 2(0,1) + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3\vec{i}+2\vec{j}+\sqrt{2}\vec{v} \\ (4,3) &= 5(1,0) + 4(0,1)-\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 5\vec{i}+4\vec{j}-\sqrt{2}\vec{v} \end{align*}$

Dengan menambahkan satu sumbu, kita memperoleh banyak koordinat untuk sebuah vektor pada $\mathbb{R}^2$ . Ternyata, ini terjadi karena $\vec{v}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ , yaitu

$\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j}$

Misalkan $(c,d,e)$ merupakan koordinat dari $(4,3) \in \mathbb{R}^2$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu tersebut.

$\begin{align*} (4,3) &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \vec{v} \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j} \right) \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{j} \\ &= \left( c + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{i} + \left( d + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{j} \end{align*}$

Karena $(4,3)=4\vec{i}+3\vec{j}$ , maka haruslah

$\begin{align*} &c + \frac{e}{\sqrt{2}} = 4 \\ &d + \frac{e}{\sqrt{2}} = 3 \end{align*}$

Diperoleh sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan tiga variabel. Banyaknya variabel lebih dari banyaknya persamaan, sehinnga sistem persamaan tersebut mempunyai tak berhingga solusi. Setiap solusi $(c,d,e)$ dari sistem persamaan merupakan koordinat $(4,3)$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu di atas. Tentu kita berusaha menghindari hal semacam ini. Nah, dari sini, kita mendefinisikan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

DEFINISI
Misalkan $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots , \vec{v_r} \}$ adalah himpunan yang terdiri dari dua atau lebih vektor pada ruang vektor V. Himpunan S dikatakan bebas linear, jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Himpunan yang tidak bebas linear dikatakan bergantung linear.

Jika himpunan S hanya beranggotakan satu vektor, maka himpunan S dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor tersebut bukan vektor nol.

Pada umumnya, cara yang paling efisien untuk mengecek apakah suatu himpunan bebas linear atau tidak adalah menggunakan teorema berikut.

TEOREMA
Himpunan tak kosong $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots , \vec{v_r} \}$ pada ruang vektor V dikatakan bebas linear jika dan hanya jika

$k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + \cdots + k_r \vec{v_r} = \vec{0}$

hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=\cdots=k_r=0$ .

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 1

Diketahui $\vec{v_1}=(1,1,2)$ , $\vec{v_2}=(1,0,1)$ , dan $\vec{v_3}=(2,1,3)$ . Periksa apakah $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ merupakan himpunan vektor di $\mathbb{R}^3$ yang bebas linear.

Pembahasan
Untuk menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak, kita perlu mengecek apakah

$k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} = \vec{0}$

hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$ .

Perhatikan bahwa

$\begin{align*} k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} &= \vec{0} \\ k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3) &= (0,0,0) \\ (k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3) &= (0,0,0) \\ (k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3) &= (0,0,0) \end{align*}$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$ , diperoleh

$\begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_1 + k_3 &= 0 \quad \quad \text{(1)} \\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 &= 0 \end{align*}$

Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear $\text{(1)}$ hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$ , kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat memanfaatkan nilai determinannya. Jika determinan dari matriks tersebut tidak nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ hanya mempunyai solusi trivial ( $k_1=k_2=k_3=0$ ), yang berakibat himpunan tersebut bebas linear. Sebaliknya, jika determinannya bernilai nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ memiliki solusi non trivial ( $k_1$ , $k_2$ , dan $k_3$ tidak semuanya bernilai nol), yang berarti himpunan tersebut bergantung linear. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan $\text{(1)}$ merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S bebas linear dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

$\begin{align*} A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

$\begin{align*} det(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 0 + 2 + 2-0-1-3 \\ &= 0 \end{align*}$

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S bergantung linear.

Alternatif
Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan $\text{(1)}$ . Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kalikan baris kedua dengan (-1).

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Diperoleh

$\begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_2 + k_3 &= 0 \end{align*}$

yang dapat ditulis sebagai

$\begin{align*} k_1 &= -k_2-2k_3 \\ k_2 &= -k_3 \end{align*}$

Solusi sistem persamaan di atas adalah

$\begin{align*} k_3 &= t \\ k_2 &= -k_3 = -t \\ k_1 &= -k_2-2k_3 = -(-t)-2t=-t \end{align*}$

dengan t merupakan parameter.

Sistem persamaan tersebut memiliki solusi non trivial, misalnya $k_1=-1$ , $k_2=-1$ , dan $k_3=1$ (untuk $t=1$ ). Dengan demikian, himpunan S bergantung linear.

Contoh 2

Diketahui $\vec{p_1}=1+x+x^2$ , $\vec{p_2}= 1+x^2$ , dan $\vec{p_3}= 1+2x$ . Periksa apakah $S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\}$ merupakan himpunan bebas linear di $P_2$ .

Pembahasan
Untuk menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak, kita perlu mengecek apakah

$k_1 \vec{p_1} + k_2 \vec{p_2} + k_3 \vec{p_3} = \vec{0}$

hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$ .

Perhatikan bahwa

$\begin{align*} k_1 \vec{p_1} + k_2 \vec{p_2} + k_3 \vec{p_3} &= \vec{0} \\ k_1 (1+x+x^2) + k_2 (1+x^2) + k_3 (1+2x) &= 0 + 0x + 0x^2 \\ (k_1+k_1x+k_1x^2) + (k_2+k_2x^2) + (k_3+2k_3x) &= 0 + 0x + 0x^2 \\ (k_1 + k_2 + k_3) + (k_1 + 2k_3)x + (k_1 + k_2)x^2 &= 0 + 0x + 0x^2 \end{align*}$

Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan linear

$\begin{align*} k_1+k_2+k_3 &= 0 \\ k_1+2k_3 &= 0 \quad \quad \text{(2)} \\ k_1+k_2 &= 0 \end{align*}$

Matriks koefisien dari $\text{(2)}$ merupakan matriks persegi, sehingga keberadaan solusi non trivial dapat dilihat dari nilai determinannya.
Matriks koefisien dari sistem persamaan $\text{(2)}$ adalah

$\begin{align*} A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

$\begin{align*} det(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot 1-0 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 0+2+1-0-2-0 \\ &= 1 \end{align*}$

Karena nilai determinan tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan $\text{(2)}$ hanya memiliki solusi trivial, yang berakibat himpunan S bebas linear.

Alternatif
Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan $\text{(2)}$ menggunakan eliminasi Gauss. Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua dan baris ketiga.

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kalikan baris kedua dan baris ketiga dengan (-1).

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Diperoleh

$\begin{align*} k_1+k_2+k_3 &= 0 \\ k_2-k_3 &= 0 \\ k_3 &= 0 \end{align*}$

Dengan substitusi balik, diperoleh

$\begin{align*} k_1 &= 0 \\ k_2 &= 0 \\ k_3 &= 0 \end{align*}$

Dengan demikian, S merupakan himpunan yang bebas linear.

Kalkulus 1

Kamis, 03 Januari 2019

Tranformasi linear

TRANSFORMASI LINEAR

Vektor basis linear

Himpunan bebas linear yang membangun suatu ruang vektor merupakan basis dari ruang vektor tersebut.

Limit tak hingga

Laporkan Penyalahgunaan