Himpunan bebas linear yang membangun suatu ruang vektor merupakan basis dari ruang vektor tersebut.

Coba perhatikan ruang vektor $\mathbb{R}^2$ yang dapat digambarkan dalam sistem koordinat XY. Setiap vektor di $\mathbb{R}^2$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan $\vec{i}=(1,0)$ dan $\vec{j}=(0,1)$ dengan tepat satu cara. Sebagai contoh, vektor $(4,3)$ dapat dinyatakan sebagai

$\begin{align*} (4,3)&= (4,0)+(0,3) \\ &= 4(1,0)+3(0,1) \\ &= 4 \vec{i}+3 \vec{j} \end{align*}$

Nah, apa yang akan terjadi jika kita menambahkan sebuah sumbu pada sistem koordinat tersebut? Misalnya kita menambahkan sumbu w yang membentuk sudut $45^{\circ}$ terhadap sumbu x. Salah satu vektor yang berada pada sumbu w adalah $\vec{u}=(2,2)$ . Vektor satuan pada sumbu w dapat ditentukan dengan membagi vektor $\vec{u}$ dengan panjangnya, yaitu $2\sqrt{2}$ .

$\vec{v} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(2,2)= \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Sebelumnya, kita telah menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ secara tunggal. Namun, jika kita melibatkan vektor satuan $\vec{v}$ , terdapat tak berhingga cara untuk menyatakan $(4,3)$ sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , dan $\vec{v}$ . Beberapa di antaranya adalah

$\begin{align*} (4,3) &= 4(1,0) + 3(0,1) + 0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\vec{i}+3\vec{j}+0\vec{v} \\ (4,3) &= 3(1,0) + 2(0,1) + \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3\vec{i}+2\vec{j}+\sqrt{2}\vec{v} \\ (4,3) &= 5(1,0) + 4(0,1)-\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 5\vec{i}+4\vec{j}-\sqrt{2}\vec{v} \end{align*}$

Dengan menambahkan satu sumbu, kita memperoleh banyak koordinat untuk sebuah vektor pada $\mathbb{R}^2$ . Ternyata, ini terjadi karena $\vec{v}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\vec{i}$ dan $\vec{j}$ , yaitu

$\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j}$

Misalkan $(c,d,e)$ merupakan koordinat dari $(4,3) \in \mathbb{R}^2$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu tersebut.

$\begin{align*} (4,3) &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \vec{v} \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + e \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j} \right) \\ &= c\vec{i} + d\vec{j} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{i} + \frac{e}{\sqrt{2}} \vec{j} \\ &= \left( c + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{i} + \left( d + \frac{e}{\sqrt{2}} \right) \vec{j} \end{align*}$

Karena $(4,3)=4\vec{i}+3\vec{j}$ , maka haruslah

$\begin{align*} &c + \frac{e}{\sqrt{2}} = 4 \\ &d + \frac{e}{\sqrt{2}} = 3 \end{align*}$

Diperoleh sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan tiga variabel. Banyaknya variabel lebih dari banyaknya persamaan, sehinnga sistem persamaan tersebut mempunyai tak berhingga solusi. Setiap solusi $(c,d,e)$ dari sistem persamaan merupakan koordinat $(4,3)$ pada sistem koordinat dengan tiga sumbu di atas. Tentu kita berusaha menghindari hal semacam ini. Nah, dari sini, kita mendefinisikan himpunan bebas linear dan bergantung linear.

DEFINISI
Misalkan $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots , \vec{v_r} \}$ adalah himpunan yang terdiri dari dua atau lebih vektor pada ruang vektor V. Himpunan S dikatakan bebas linear, jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Himpunan yang tidak bebas linear dikatakan bergantung linear.

Jika himpunan S hanya beranggotakan satu vektor, maka himpunan S dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor tersebut bukan vektor nol.

Pada umumnya, cara yang paling efisien untuk mengecek apakah suatu himpunan bebas linear atau tidak adalah menggunakan teorema berikut.

TEOREMA
Himpunan tak kosong $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots , \vec{v_r} \}$ pada ruang vektor V dikatakan bebas linear jika dan hanya jika

$k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + \cdots + k_r \vec{v_r} = \vec{0}$

hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=\cdots=k_r=0$ .

Untuk lebih jelasnya, kita akan membahas beberapa contoh soal.

Contoh 1

Diketahui $\vec{v_1}=(1,1,2)$ , $\vec{v_2}=(1,0,1)$ , dan $\vec{v_3}=(2,1,3)$ . Periksa apakah $S=\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}$ merupakan himpunan vektor di $\mathbb{R}^3$ yang bebas linear.

Pembahasan
Untuk menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak, kita perlu mengecek apakah

$k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} = \vec{0}$

hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$ .

Perhatikan bahwa

$\begin{align*} k_1 \vec{v_1} + k_2 \vec{v_2} + k_3 \vec{v_3} &= \vec{0} \\ k_1 (1,1,2) + k_2 (1,0,1) + k_3 (2,1,3) &= (0,0,0) \\ (k_1,k_1,2k_1) + (k_2,0,k_2) + (2k_3,k_3,3k_3) &= (0,0,0) \\ (k_1 + k_2 + 2k_3, k_1 + k_3,2k_1 + k_2 + 3k_3) &= (0,0,0) \end{align*}$

Berdasarkan kesamaan vektor pada $\mathbb{R}^3$ , diperoleh

$\begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_1 + k_3 &= 0 \quad \quad \text{(1)} \\ 2k_1 + k_2 + 3k_3 &= 0 \end{align*}$

Untuk menentukan apakah sistem persamaan linear $\text{(1)}$ hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$ , kita dapat menggunakan beberapa cara. Jika matriks koefisiennya merupakan matriks persegi, maka kita dapat memanfaatkan nilai determinannya. Jika determinan dari matriks tersebut tidak nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ hanya mempunyai solusi trivial ( $k_1=k_2=k_3=0$ ), yang berakibat himpunan tersebut bebas linear. Sebaliknya, jika determinannya bernilai nol, maka sistem persamaan $\text{(1)}$ memiliki solusi non trivial ( $k_1$ , $k_2$ , dan $k_3$ tidak semuanya bernilai nol), yang berarti himpunan tersebut bergantung linear. Akan tetapi, jika matriks koefisiennya bukan matriks persegi, maka kita perlu menentukan solusi dari sistem persaman tersebut, misalnya menggunakan eliminasi Gauss.

Karena matriks koefisien dari sistem persamaan $\text{(1)}$ merupakan matriks persegi, maka kita bisa menentukan apakah S bebas linear dengan melihat nilai determinannya. Matriks koefisien dari sistem persamaan di atas adalah

$\begin{align*} A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\end{array} \right] \end{align*}$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

$\begin{align*} det(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 0 + 2 + 2-0-1-3 \\ &= 0 \end{align*}$

Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S bergantung linear.

Alternatif
Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan $\text{(1)}$ . Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kita akan mengubah matriks di atas ke dalam bentuk eselon baris.
Tambahkan (-1) kali baris pertama ke baris kedua, dan (-2) kali baris pertama ke baris ketiga.

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kalikan baris kedua dengan (-1).

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Diperoleh

$\begin{align*} k_1 + k_2 + 2k_3 &= 0 \\ k_2 + k_3 &= 0 \end{align*}$

yang dapat ditulis sebagai

$\begin{align*} k_1 &= -k_2-2k_3 \\ k_2 &= -k_3 \end{align*}$

Solusi sistem persamaan di atas adalah

$\begin{align*} k_3 &= t \\ k_2 &= -k_3 = -t \\ k_1 &= -k_2-2k_3 = -(-t)-2t=-t \end{align*}$

dengan t merupakan parameter.

Sistem persamaan tersebut memiliki solusi non trivial, misalnya $k_1=-1$ , $k_2=-1$ , dan $k_3=1$ (untuk $t=1$ ). Dengan demikian, himpunan S bergantung linear.

Contoh 2

Diketahui $\vec{p_1}=1+x+x^2$ , $\vec{p_2}= 1+x^2$ , dan $\vec{p_3}= 1+2x$ . Periksa apakah $S=\{\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}\}$ merupakan himpunan bebas linear di $P_2$ .

Pembahasan
Untuk menentukan apakah himpunan S bebas linear atau tidak, kita perlu mengecek apakah

$k_1 \vec{p_1} + k_2 \vec{p_2} + k_3 \vec{p_3} = \vec{0}$

hanya dipenuhi oleh $k_1=k_2=k_3=0$ .

Perhatikan bahwa

$\begin{align*} k_1 \vec{p_1} + k_2 \vec{p_2} + k_3 \vec{p_3} &= \vec{0} \\ k_1 (1+x+x^2) + k_2 (1+x^2) + k_3 (1+2x) &= 0 + 0x + 0x^2 \\ (k_1+k_1x+k_1x^2) + (k_2+k_2x^2) + (k_3+2k_3x) &= 0 + 0x + 0x^2 \\ (k_1 + k_2 + k_3) + (k_1 + 2k_3)x + (k_1 + k_2)x^2 &= 0 + 0x + 0x^2 \end{align*}$

Berdasarkan kesamaan dua polinom, diperoleh sistem persamaan linear

$\begin{align*} k_1+k_2+k_3 &= 0 \\ k_1+2k_3 &= 0 \quad \quad \text{(2)} \\ k_1+k_2 &= 0 \end{align*}$

Matriks koefisien dari $\text{(2)}$ merupakan matriks persegi, sehingga keberadaan solusi non trivial dapat dilihat dari nilai determinannya.
Matriks koefisien dari sistem persamaan $\text{(2)}$ adalah

$\begin{align*} A= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$

Kita hitung determinannya dengan metode Sarrus.

$\begin{align*} det(A) &= 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1-1 \cdot 0 \cdot 1-1 \cdot 2 \cdot 1-0 \cdot 1 \cdot 1 \\ &= 0+2+1-0-2-0 \\ &= 1 \end{align*}$

Karena nilai determinan tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan $\text{(2)}$ hanya memiliki solusi trivial, yang berakibat himpunan S bebas linear.

Alternatif
Kita akan menentukan solusi dari sistem persamaan $\text{(2)}$ menggunakan eliminasi Gauss. Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan tersebut adalah

$\begin{align*} \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right] \end{align*}$