Sistem Bilangan Riil

Bilangan Riil

Bilangan riil atau sering disebut juga bilangan real dalam matematika menyatakan suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal seperti 3.2678. Bilangan riil ini meliputi bilangan rasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir dan bilangan irasional yang direpresentasikan dalam bentuk desimal berulang. Untuk bilangan riil sendiri direpresentasikan sebagai salah satu titik pada garis bilangan.

Gambar disamping merupakan simbol yang sering digunakan untuk bilangan riil, sehingga kita akan lebih mudah untuk mengingatnya.

 Garis bilangan

            Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis bilangan, yang disebut garis bilangan real.

 

 

 

Sifat-sifat Bilangan Riil :
1. Aksioma Medan



Bilangan Riil dalam operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi aksioma berikut ini. Misalkan x dan y merupakan bilangan riil dimana x+y suatu operasi penjumlahan dan xy suatu operasi perkalian.

• Aksioma 1 ( hukum komutatif ) yaitu x+y=y+x dan xy=yx
• Aksioma 2 ( hukum asosiatif ) yaitu x+(y+z)=(x+y)+z dan x(yz)=(xy)z
• Aksioma 3 ( hukum distributif ) yaitu x(y+z)=xy+xz
• Aksioma 4 (eksistensi unsur identitas). Identitas untuk penjumlahan 0 dan untuk perkalian 1 yang menjadikan 0+x=x dan 1.x=x.
• Aksioma 5 (eksistensi negatif / invers) terhadap penjumlahan dimana x+y=0 maka dapat ditulis y=-x.
• Aksioma 6 (eksistensi resiprokal/invers) terhadap perkalian dimana xy=1 sehingga kita dapat melambangkan y=1/x

Himpunan yang memenuhi aksioma-aksioma diatas disebut medan, oleh karena itu aksioma-aksioma diatas disebut aksioma medan.
2. Aksioma Urutan
Disini kita akan mengasumsikan terdapat R+ yaitu bilangan riil positif, misalnya x dan y anggota R+, maka akan memenuhi aksioma :

• Aksioma 7 yaitu xy dan x+y anggota R+.
• Aksioma 8 yaitu untuk setiap x≠0 , x anggota R+ atau -x anggota R+, namun tidak mungkin keduanya sekaligus.
• Aksioma 9 yaitu 0 bukan merupakan anggota R+.

3. Aksioma Kelengkapan

• Aksioma 10 yaitu setiap anggota bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yaitu ada bilangan riil B sehingga B=sup(S).

Contoh cara mengubah pecahan biasa kedesimal

contoh cara mengubah pecahan ke persen

contoh cara mengubah persen ke pecahan
 
 

    Sifat-sifat urutan bilangan real

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:

 

•          a < b = a + c < b + c

•          a < b = a - c < b – c

•          a < b, c > 0= = ac < bc

•          a < b, c < 0 = ac > bc

•          a > 0 =  

•          Jika a dan b bertanda sama maka