Limit dan Kekontinuan 

Limit Fungsi

Limit Fungsi di Suatu Titik

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik.

Ilustrasi:

Dari tabel dan grafik: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x # 1

Notasi:${lim}_{x\to 1}f\left(x\right)=3$

Definisi [Limit fungsi di suatu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L$

Apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

Kasus-kasus Limit yang Sama
Ketiga kasus di bawah ini memberikan limit yang sama, yaitu  ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L$

Limit Satu Sisi

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau  kanan

Ilustrasi:

Diketahui: f (x) = [[x]], x anggota dari 2 [-1, 2)

Dari grafik:

1) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x # 0.

Notasi: ${lim}_{x\to 0^{-}}f\left(x\right)=-1$

2) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x # 0.

Notasi: ${lim}_{x\to 0^{+}}f\left(x\right)=-1$

Definisi [limit kanan]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) ketika x mendekati a (limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.

Definisi [limit kiri]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) ketika x mendekati a (limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.

Teorema [hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi]

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L$

jika dan hanya jika  ${lim}_{x\to a^{+}}f\left(x\right)=L={lim}_{x\to a^{-}}f\left(x\right)$

Limit Tak Hingga

Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik

Ilustrasi:

Diketahui:  $\frac{1}{x^2}$

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi:  ${lim}_{x\to 0}f\left(x\right)=\infty$

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan  $\infty$

, ditulis

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=\infty$

apabila nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $\infty$

adalah f(x) --> $\infty$

  bila x--> a

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = - 1/x^2

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi: ${lim}_{x\to 0}f\left(x\right)=-\infty$

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $-\infty$

, ditulis
apabila nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a tetapi x # a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $-\infty$

adalah f(x) --> $-\infty$

bila x--> a

Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi:

 

 

Hukum Limit

Teorema Limit Utama

Teorema

Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)$

dan ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)$

ada, maka :

Teorema:

Teorema Substitusi

Teorema

Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam daerah asal f, maka  ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Pertidaksamaan Limit

Teorema

Jika f (x) ≤ g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)⩽{lim}_{x\to a}g\left(x\right)$

Teorema Apit
Teorema

Jika f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a)

dan ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L={lim}_{x\to a}h\left(x\right),$

, maka ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)=L$

Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan di Satu Titik

Definisi [Kekontinuan di satu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila  ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Catatan:

 

Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik

Teorema:

Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:

1) f + g

2) f - g

3) cf

4) fg

5) f/g jika g(a) # 0

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit

Teorema [Limit fungsi komposit]

Jika f kontinu pada b dan ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)=b$

, maka ${lim}_{x\to a}f\left(g\right(x\left)\right)=f\left({lim}_{x\to a}g\right(x\left)\right)$

Teorema [Kekontinuan fungsi komposit]

Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f o g kontinu pada a.

Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan

Definisi [Kontinu kiri]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila
${lim}_{x\to a^{-}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Definisi [Kontinu kanan]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila ${lim}_{x\to a^{+}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Kekontinuan pada Interval

Definisi [Kekontinuan pada interval]

1. Fungsi f kontinu pada interval (a, b), jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.
2. ungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

Teorema
Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya:

1. Fungsi polinom
2. Fungsi rasional
3. Fngsi trigonometri
4. Fungsi akar
5. Fungsi eksponen
6. Fungsi logaritma
7. Fungsi nilai mutlak

Teorema Nilai Antara

Teorema

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N adalah bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c anggota dari (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.

Kegunaan Teorema Nilai Antara

1)    Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.

2)    Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.

3)    Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.

Limit Trigonometri

A. Pengertian Limit Trigonometri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah dulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilainya bernilai 0, bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus menggunakan identitas tetapi menggunakan teorema limit trigonometri atau ada juga yang menggunakan identitas dan teorema. Jadi apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang mendekatinya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat beberapa cara yang bisa dipakai :

1. Metode Numerik
2. Subtitusi
3. Pemfaktoran
4. Kali Sekawan
5. Menggunakan Turunan

Penulisan nya adalah sebagai berikut :

Cara membaca dari limit di atas yaitu limit fungsi f(x) untuk x mendekati c. 

B. Macam- Macam Trigonometri dan Identitasnya 

a. Macam-macam trigonometri

Berikut ini adalah nama-nama trigonometri yang kita kenal :

1. Sinus (sin)
2. Tangen (tan)
3. Cosinus (cos)
4. Cotongen (cot)
5. Secan (sec)
6. Cosecan (Csc)

b. Rumus kebalikan

2. 
   
   
   
   
   c. Identitas Trigonometri

3. 
   
   d. Rumus Jumlah dan Selisih

4. 
   
   e. Rumus Perkalian

5. 
   
   f. Rumus sudut rangkap

6. 
   
   
   C. Teorema limit trigonometri

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan limit trigonometri yaitu :

Teorema A

Teorema di atas hanya berlaku saat (x -> 0) .

Teorema B

Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi yaitu :

Biasanya dalam soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsinya yaitu berupa sudut sudut istimewa yaitu sudut yang memiliki nilai sederhana. Untuk itu kita perlu mengetahui nilai-nilai sudut istimewa yang disajikan table di bawah ini :

Agar lebih jelas dibawah ini terdapat beberapa contoh soal limit fungsi trigonometri

Contoh soal :

1. Selesaikan limit trigonometri berikut :

Jawab ;

Melihat bentuk limit pada soal di atas kita dapat langsung mensubtitusikan nilai x.

2. Selesaikan limit trigonometri berikut :

Jawab :

Melihat bentuk limit di atas makan kita dapat mengarahkan limit ke bentuk teorema A

Tetapi dalam soal fungsi sinus adalah 3x bukan x sebagaimana syarat dari teorema A. Maka kita dapat mengalikan fungsi dengan 1 agar nilainya tidak berubah

Dikali dengan 3/3 hal ini tidak merubah fungsi karena sama dengan di kali 1. Kemudian kita dapat memisalkan agar fungsi berbentuk seperti teorema A yaitu dengan memisalkan 3x.

Misal y=3x maka y –> jika dan. hanya jika x–>0 sehingga :

3. Selesaikan limit trigonometri berikut :

Nilai

Jawab :

kita tidak dapat langsung mensubtitusikan nilai x ke fungsi dikarenakan haslnya akan 0 ini adalah contoh soal limit tak tentu. kita dapat memfaktorkan fungsi penyebut agar kita mendapat (x-2) sehingga berlaku teorema A

4. Selesaikan limit trigonometri berikut : Nilai = …

Jawab :

jika kita subtitusikan maka nilainya 0 sehingga terlebih dahulu kita harus mengarahkan menjadi bentuk yang apabila kita subtitusikan nilainya ≠0

kita ubah fungsi menggunakan identitas sudut rangkap sehingga

1-cos4x=2sin ²2x

 

5. Selesaikan limit trigonometri dibawah ini

Jawab :

Karena apabila langsung di subtitusikan menghasilkan 0 maka kita perlu menyelesaikan soal di atas dengan mengubah ke bentuk identitas

Fungsi Limit Tak Terhingga

Limit Matematika dan Contoh Soal

Limit Matematika  – Tak terasa ujian nasional kurang dari sebulan lagi. Buat sobat hitung, jangan lupa ikhtiar, doa, dan restu orang tua biar sukses ujian nasionalnya. Siang ini rumushitung.com coba menyuguhkan materi buat me-refresh ingatan sobat tentang materi limit matematika. Kami yakin soal limit sudah hampir bisa dipastikan akan muncul dalam soal ujian nasional 2014, entah itu soal limit biasa atau limit trigonometri.

Apa itu Limit Matematika?

Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati suatu bilangan a adalah nilai pendekatan fungsi f(x) bilamana x mendekati a

Misalnya

ini berarti bahwa nilai dari fungsi f(x) mendekati M jika nilai x mendekati a biar lebih paham kita simak contoh berikut

Contoh 1
Tentukan limit dari

Jawab :
Untuk nilai x mendekati 1 maka (4x²+1) akan mendekati 4.1² + 1 = 5 sehingga nilai dari

Contoh 2
Tentukan nilai dari limit

Jawab
Misal sobat langsung memasukkan nili x = 1 ke dalam persamaan hasilnya tidak akan terdefinisi karena bilangan pembagi ketemu 0 (x-1). Akan tetapi bentuk di atas masih bisa disederhakan guna menghilangkan komponen pembagi yang bernilai nol yaitu

Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Adakalanya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya adalah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan.

Limit Bentuk 0/0

---

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika sobat menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persaman kuadrat sobat bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a²-b² = (a+b) (a-b). Berikut contohnya

Bentuk ∞/∞

---

Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti

Contoh Soal
Coba sobat tentukan

Jawab

Berikut rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞

• Jika m<n maka L = 0
  
• Jika m=n maka L = a/p
• Jika m>n maka L = ∞
  

Bentuk Limit (∞-∞)

---

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul dalam ujian nasional. Bentuk soalnya akan sangat beragam. Namun demikian, penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Be creative, out of the box. Berikut contoh soal yang kami ambil dari ujian nasional 2013.

Tentukan Limit

Jika sobat masukkan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). Untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi

Sekian dulu sobat belajar kita tentang limit matematika. Untuk limit trigonometri akan kita sajikan pada postingan tersendiri. Selamat belajar.

Fungsi Limit

Fungsi Limit

Pengertian

Di dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit digunakan dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
Limit fungsi adalah salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p.

Teorema Limit

Definisi dan Teorema Limit. Limit dalam bahasa umum bermakna batas. Ketika belajar matematika beberapa guru yang menyatakan bahwa limit merupakan pendekatan. Definisi dari limit ini menyatakan bahwa suatu fungsi f(x) akan mendekati nilai tertentu jika x mendekati nilai tertentu. Pendekatan ini terbatas antara dua bilangan positif yang sangat kecil yang disebut sebagai epsilon dan delta. Hubungan ke-2 bilangan positif kecil ini terangkum dalam definisi limit.

Teorema Limit Utama

Contoh Soal

Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi

Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan.

Limit Bentuk 0/0

Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam

ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a²-b² = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya :

Bentuk ∞/∞

Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti :

Contoh Soal
Coba kalian tentukan

Jawaban

Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞

• Jika m<n maka L = 0
  
• Jika m=n maka L = a/p
• Jika m>n maka L = ∞
  

Bentuk Limit (∞-∞)

Bentuk (∞-∞) sering sekali muncul pada saat ujian nasional. Bentuk soalnya sangat beragam. Namun, penyelesaiannya tidak jauh-jauh dari penyederhanaan. Berikut contoh soal yang akan kami ambil dari ujian nasional 2013.
Tentukan Limit

Jika kalain masukkan x -> 1 maka bentuknya akan mmenjadi (∞-∞). Dan untuk menghilangkan bentuk ∞-∞ kita sederhanakan bentuk tersebut menjadi,

Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga
Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nilai limit tak terhingga bentuk pecahan kita hanya perlu memperhatikan pangkat tertinggi dari masing-masing pembilang dan penyebut.
ada 3 kemungkinan yang dapat saja terjadi. Pertama, pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari pangkat tertinggi penyebut. Kedua, pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Ketiga, pangkat tertinggi pembilang lebih tinggi dari pangkat tertinggi penyebut. Rumus ke-3 nilai limit tak terhingga bentuk pecahan tersebut dapat dilihat pada persamaan dibawah ini.

rumus cepat mencari limit tak hingga

Contoh soal
Nilai limit dari

adalah…

A. – ∞
B. – 5
C. 0
D. 5
E. ∞
Pembahasan :
Nilai pangkat tertinggi pada pembilang ialah 3 dan nilai pangkat tertinggi penyebut adalah 2 (m>n). Jadi, nilai limitnya adalah ∞.
Jawabannya E
Demikianlah pembahasan lengkap mengenai rumus limit matematika, Semoga bermanfaat…