Limit dan Kekontinuan 

Limit Fungsi

Limit Fungsi di Suatu Titik

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik.

Ilustrasi:

Dari tabel dan grafik: nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x # 1

Notasi:${lim}_{x\to 1}f\left(x\right)=3$

Definisi [Limit fungsi di suatu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L$

Apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

Kasus-kasus Limit yang Sama
Ketiga kasus di bawah ini memberikan limit yang sama, yaitu  ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L$

Limit Satu Sisi

Menggambarkan perilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik dari satu arah saja, kiri atau  kanan

Ilustrasi:

Diketahui: f (x) = [[x]], x anggota dari 2 [-1, 2)

Dari grafik:

1) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke -1, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kiri dan x # 0.

Notasi: ${lim}_{x\to 0^{-}}f\left(x\right)=-1$

2) nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 0, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0 dari arah kanan dan x # 0.

Notasi: ${lim}_{x\to 0^{+}}f\left(x\right)=-1$

Definisi [limit kanan]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval [a, b), kecuali mungkin di a. Limit kanan f (x) ketika x mendekati a (limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kanan) sama dengan L, ditulis
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x > a.

Definisi [limit kiri]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a], kecuali mungkin di a. Limit kiri f (x) ketika x mendekati a (limit f (x) ketika x mendekati a dari sisi kiri) sama dengan L, ditulis
apabila nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin ke L, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a dan x < a.

Teorema [hubungan limit di suatu titik dengan limit satu sisi]

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L$

jika dan hanya jika  ${lim}_{x\to a^{+}}f\left(x\right)=L={lim}_{x\to a^{-}}f\left(x\right)$

Limit Tak Hingga

Menggambarkan perilaku nilai fungsi yang membesar atau mengecil tanpa batas jika peubahnya mendekati suatu titik

Ilustrasi:

Diketahui:  $\frac{1}{x^2}$

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi:  ${lim}_{x\to 0}f\left(x\right)=\infty$

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan  $\infty$

, ditulis

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=\infty$

apabila nilai f (x) dapat dibuat sebesar mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a, tetapi x # a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $\infty$

adalah f(x) --> $\infty$

  bila x--> a

Ilustrasi:

Diketahui: f(x) = - 1/x^2

Dari grafik:

nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke 0, tetapi x # 0.

Notasi: ${lim}_{x\to 0}f\left(x\right)=-\infty$

Definisi

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a. Limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $-\infty$

, ditulis
apabila nilai f (x) dapat dibuat sekecil mungkin, dengan cara mengambil nilai x yang cukup dekat ke a tetapi x # a.

Catatan:

Notasi lain untuk limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan $-\infty$

adalah f(x) --> $-\infty$

bila x--> a

Definisi serupa dapat diberikan untuk limit tak-hingga satu sisi:

 

 

Hukum Limit

Teorema Limit Utama

Teorema

Misalkan c konstanta, n bilangan bulat positif dan kedua limit ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)$

dan ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)$

ada, maka :

Teorema:

Teorema Substitusi

Teorema

Jika f adalah polinom atau fungsi rasional dan a di dalam daerah asal f, maka  ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Pertidaksamaan Limit

Teorema

Jika f (x) ≤ g (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a) dan limit f dan g keduanya ada untuk x mendekati a, maka

${lim}_{x\to a}f\left(x\right)⩽{lim}_{x\to a}g\left(x\right)$

Teorema Apit
Teorema

Jika f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) pada waktu x dekat a (kecuali mungkin di a)

dan ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=L={lim}_{x\to a}h\left(x\right),$

, maka ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)=L$

Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan di Satu Titik

Definisi [Kekontinuan di satu titik]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat a. Fungsi f disebut kontinu di a, bila  ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Catatan:

 

Operasi Aljabar Fungsi Kontinu di Satu Titik

Teorema:

Jika fungsi f dan g kontinu di x = a dan c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu pada a:

1) f + g

2) f - g

3) cf

4) fg

5) f/g jika g(a) # 0

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposit

Teorema [Limit fungsi komposit]

Jika f kontinu pada b dan ${lim}_{x\to a}g\left(x\right)=b$

, maka ${lim}_{x\to a}f\left(g\right(x\left)\right)=f\left({lim}_{x\to a}g\right(x\left)\right)$

Teorema [Kekontinuan fungsi komposit]

Jika fungsi g kontinu pada a dan f kontinu pada g (a), maka fungsi komposit f o g kontinu pada a.

Kontinu Kiri dan Kontinu Kanan

Definisi [Kontinu kiri]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila
${lim}_{x\to a^{-}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Definisi [Kontinu kanan]

Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval (b, a]. Fungsi f disebut kontinu kiri di a, bila ${lim}_{x\to a^{+}}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Kekontinuan pada Interval

Definisi [Kekontinuan pada interval]

1. Fungsi f kontinu pada interval (a, b), jika f kontinu di setiap titik pada interval tersebut.
2. ungsi f kontinu pada interval [a, b], jika f kontinu pada interval (a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

Teorema
Fungsi-fungsi berikut kontinu pada daerah asalnya:

1. Fungsi polinom
2. Fungsi rasional
3. Fngsi trigonometri
4. Fungsi akar
5. Fungsi eksponen
6. Fungsi logaritma
7. Fungsi nilai mutlak

Teorema Nilai Antara

Teorema

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan N adalah bilangan di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c anggota dari (a, b) sedemikian sehingga f (c) = N.

Kegunaan Teorema Nilai Antara

1)    Menunjukkan keberadaan akar suatu persamaan pada suatu interval.

2)    Menunjukkan keberadaan penyelesaian suatu persamaan pada suatu interval.

3)    Menunjukkan keberadaan titik potong dua kurva pada suatu interval.