Selasa, 16 Oktober 2018

Matriks dengan menggunaan metode Gouss-jordan dan Cramer

Eliminasi Gauss adalah metode eliminasi yang sering di sebut juga dengan transformasi elementer. Caranya dengan mengubah elemen baris atau kolom dalam matriks diubah menjadi vektor 0.

Ciri-ciri Metode Gauss :

Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertamanya adalah 1
Baris nol terletak paling bawah
Angka 1 berikutnya berada di baris ke 2 kolom 2
Dibawah angka 1 harus nol

Kelebihan dan Kekurangan :

Keuntungan :

Menentukan apakah sistem konsisten
Menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap angka
Lebih mudah untuk memecahkan

Kelemahan :

Memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal.

Contoh Soal :

Tentukan rank dari matriks B di bawah ini dengan menggunakan metode eliminasi gauss.

Dari hasil transformasi diperoleh matriks identitas berukuran 2×2, sehingga rank dari matriks B adalah 2 (rank(B) = 2).

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss Jordan adalah pengembangan dari Eliminasi Gauss. yang nantinya hasil dari eliminasi lebih sederhana, caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang eselon (matriks identitas).

➔ Matriks Identitas (I)

Pada metode eliminasi Gauus-Jordan kita membuat nol elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol.

Contoh Soal :

Tentukan rank dari matriks A di bawah ini dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss-Jordan.

Metode Cramer

Setelah kita memahami cara penulisan sistem persamaan linear dengan matriks, kita dapat menyelesaikan persamaan linear tersebut dengan menggunakan matrik, operasi baris elementer dan cramer. Berikut ini adalah penjelasan cara menyelesaikan sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X₁ = det (A₁) / det (A)

X₂ = det (A₂) / det (A)

X_n = det (A_n) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :

-x₁ + x₂ + 2x₃ = -5

2x₁ - x₂ + x₃ = 1

x₁ + x₂- x₃ = 5

jawab :

bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+ 1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}

={ (-1 + 1 + 4) – (-2 + (-1) + (-2)} = { 4 – (-5)} ={ 4 + 5} = 9

Det A₁=

Det A₁= ( -5 + 5 + 2 ) – (-10 + (-5) + (-1) ) = 2 + 16 = 18

Det A₂=

Det A₂= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9

Det A₃=

Det A₃= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :

X₁= Det (A_{1 )}/ Det (A) = 18 /9 = 2

X₂= Det (A_{2 )}/ Det (A) = 9 / 9 = 1

X₃ = Det (A_{3 )}/ Det (A) = -18 / 9 = -2

Jadi pemecahan untuk SPL tersebut adalah :

X₁= 2 , X₂= 1 , X₃= -2

Kamis, 11 Oktober 2018

Matrik Elementer

Transformasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A_n | I_n), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A_n | I_n) ke bentuk (I_n | B_n), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A_n adalah B_n.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) B_i ↔ B_j : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.B_i : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) B_i + kB_j : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20 :

Tentukan invers matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

Jadi, diperoleh A^–1 = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Keterangan :

1/2 B₁ : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B₂ – 5B₁ : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B₁ – B₂ : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B₂ : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal 21 :

dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :

Matriks Partisi

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Latihan 5.2 (perkalian partisi)

Diberikan

Solusi :

Jadikan Z₁ menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z₂ matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A₁ merupakan aturan m × p dan A₂ merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mmpunyai

Contoh lain.... ^_^

maka

Sabtu, 06 Oktober 2018

Determinan Dengan Menggunakan Metode OBE

Determinan dengan menggunakan metode OBE

A. 3 Langkah Determinan Matriks 3×3 Metode OBE

Matriks 3×3

Unsur matriks 3×3 yaitu:

$\large A = \begin{bmatrix} a\sb{11} &a\sb{12} &a\sb{13} \\ a\sb{21} &a\sb{22} &a\sb{23} \\ a\sb{31} &a\sb{32} &a\sb{33} \end{bmatrix}$

Ubah elemen matriks dengan huruf abjad a – i, maka:

$\large A = \begin{bmatrix} a &b &c \\ d &e &f \\ g &h &i \end{bmatrix}$

Sifat-Sifat Determinan

Sifat-sifat determinan yang berkaitan dengan OBE matriks, yaitu:

Jika matriks A sembarang merupakan matriks segitiga (atas, bawah) atau diagonal, maka determinan A = hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya.
Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A setelah salah satu barisnya dijumlahkan atau dikurangi dengan baris atau kelipatan baris lainnya, maka determinan A’ = determinan A.

Sebenarnya ada beberapa sifat-sifat OBE lainnya yang dapat digunakan dalam mencari determinan.
Tapi, daripada bikin kamu jadi bingung.
Sebaiknya satu sifat OBE matriks saja yang digunakan untuk mencari determinan, yaitu:
“Menjumlahkan atau mengurangi satu baris dengan baris atau kelipatan baris lainnya”
Contoh rumusnya seperti ini.

$\large R2 - \frac{1}{2}R3$

$\large R3 + R1$

$\large R1 - 4R2$

$\large R3 + \frac{5}{2}R2$

Pesan saya, perhatikan pola rumusnya!

Baris di sebelah kiri operasi penjumlahan atau pengurangan tidak boleh dikali atau dibagi dengan konstanta.
Baris di sebelah kanan operasi penjumlahan atau pengurangan boleh dikali atau dibagi dengan konstanta.

Kunci

Ya …lagi dan lagi saya sampaikan bahwa…
Kunci OBE matriks adalah elemen diagonal utama, yaitu elemen a, e, dan i.
Determinan matriks 3x3 OBE Kunci

Contohnya rubah elemen g menjadi nol, maka rumus OBE harus menggunakan elemen a sebagai kunci kolom pertama.
Penggunaan lebih jelasnya diberikan dalam contoh perhitungan determinan selanjutnya.

Matriks Segitiga Atas

Yaitu sebuah matriks persegi yang elemen-elemen a_ij = 0, dengan i > j.

Atau dalam hal ini hanya elemen d, g, dan h yang berisi angka nol.

Determinan cara Matriks Segitiga Atas: Determinan matriks 3x3 matriks segitiga atas

“Merubah matriks menjadi matriks segitiga atas, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal utama”.

Contoh Soal
Hitunglah determinan matriks 3×3 berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

$\large B = \begin{bmatrix} 2 &5 &-1 \\ 3 &-4 &2 \\ 1 &5 &-3 \end{bmatrix}$

$\large C = \begin{bmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &-2 &3 \\ 3 &7 &4 \end{bmatrix}$

Ubah elemen d dan g menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen e
Maka, determinan dari matriks:

Det A $\large = (-2)(5)(-1,7) = 17$

Det B $\large = (2)(-11,5)(-\frac{40}{23}) = 40$

Det C $\large = (1)(-1)(18) = -18$

Matriks Segitiga Bawah

Yaitu sebuah matriks persegi yang elemen-elemen a_ij = 0, dengan i < j.
Atau dengan kata lain hnya elemen b, c, dan f yang berisi angka nol.
Determinan cara Matriks Segitiga Bawah: determinan matriks3x3 matriks segitiga bawah

“Merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah, kemudian determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal utama”.

Contoh Soal
Dari contoh soal yang sama, hitunglah determinan matriks 3×3 berikut ini!

$\large A = \begin{bmatrix} -2 &4 &-5 \\ 1 &3 &-7 \\ -1 &4 &-8 \end{bmatrix}$

$\large B = \begin{bmatrix} 2 &5 &-1 \\ 3 &-4 &2 \\ 1 &5 &-3 \end{bmatrix}$

$\large C = \begin{bmatrix} 1 &1 &2 \\ -1 &-2 &3 \\ 3 &7 &4 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Ubah elemen c dan f menjadi nol menggunakan kunci elemen i.
Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen e.
Maka, determinan dari matriks:

Det A $\large = (4,25)(-0,5)(-8) = 17$

Det B $\large = (20)(-\frac{2}{3})(-3) = 40$

Det C $\large = (\frac{18}{29})(-7,25)(4) = -18$

Selesai sudah pembahasan determinan matriks 3×3.

B. Invers Matriks 4×4 Metode OBE Kunci K

Matriks 4×4

Bentuk umum:

$\Large A= \begin{bmatrix}a\sb{11} &a\sb{12} &a\sb{13} &a\sb{14} \\a\sb{21} &a\sb{22} &a\sb{23} &a\sb{24} \\a\sb{31} &a\sb{32} &a\sb{33} &a\sb{34} \\a\sb{41} &a\sb{42} &a\sb{43} &a\sb{44} \end{bmatrix}$

Nama elemen matriks diganti dengan huruf a – p, sehingga matriks:

$\Large A = \begin{bmatrix}a &b &c &d \\e&f &g &h \\i &j &k &l \\m &n &o &p \end{bmatrix}$

Invers Matriks 4×4

Caranya sederhana yaitu menambahkan matriks identitas di sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right]$

Lakukan OBE hingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan invers matriks pun diperolah yaitu matriks sebelah kanan.

$\Large \left [\left.\begin{matrix} 1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0 &0 &1 \end{matrix}\right|\begin{matrix} a &b &c &d \\ e &f &g &h \\ i &j &k &l \\ m &n &o &p \end{matrix}\right]$

Namun, pada saat mengerjakannya tidaklah sesederhana itu. Seringkali kita kesulitan dan muter-muter tidak jelas.
Oleh karena itu, saya tawarkan dua hal yaitu “Kunci” sebagai patokan rumus OBE dan “K” sebagai urutan langkah OBE.

Kunci

Kunci OBE adalah diagonal utama matriks yaitu:

Elemen a adalah kunci kolom pertama
Elemen f adalah kunci kolom kedua
Elemen k adalah kunci kolom ketiga
Elemen p adalah kunci kolom keempat

Fungsinya sebagai patokan atau acuan rumus OBE tiap kolom.
Contohnya mengubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci a.

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 &1 \\5&9 &6 &7 \\-1 &7 &-3 &-5 \\8 &-2 &-4 &-6 \end{bmatrix}$

R4-2R1

$\huge \Rightarrow$

$\Large A = \begin{bmatrix} 4 &2 &3 &1 \\5&9 &6 &7 \\-1 &7 &-3 &-5 \\0 &2 &-10 &-8 \end{bmatrix}$

“K”

Pada prinsipnya OBE K sama dengan Eliminasi Gauss Jordan yaitu menghasilkan matriks eselon baris tereduksi.
Fungsinya hanya memandu langkah pengerjaan OBE agar lebih efisien.
Invers Matriks 4x4 Metode OBE K

Urutan lengkapnya yaitu e – i – m – n – j – o – p – l – k – h – d – c – g – f –b – a.

Aturannya yaitu ubah elemen berwarna merah menjadi angka nol dan elemen berwarna hijau menjadi angka satu.

Contoh Soal

Dua contoh matriks yang saya bahas memenuhi syarat suatu matriks mempunyai invers yaitu determinan ≠ 0.
Contoh: Tentukan invers matriks berikut ini!

$\large C = \begin{bmatrix} 8 &-8 &8 &-8 \\ 2&4 &3 &-1 \\ 1 &3 &7 &0 \\ -3 &1 &4 &1 \end{bmatrix}$

$\large D = \begin{bmatrix} 2 &-1 &5 &11 \\2&8 &9 &8 \\4 &-11 &-10 &-7 \\-2 &4 &7 &6 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

Tambahkan matriks identitas.
Khusus untuk mengubah elemen e menjadi nol, kita bisa menggunakan elemen yang lebih mudah dihitung.
Ubah elemen i menjadi nol menggunakan kunci elemen a.
Ubah elemen m menjadi nol menggunakan kunci elemen a.

5. Ubah elemen n menjadi nol menggunakan kunci elemen f. Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K5

6. Ubah elemen j menjadi nol menggunakan kunci elemen f.

7. Ubah elemen o menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

8. Ubah elemen p menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K8

9. Ubah elemen l menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

10. Ubah elemen k menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K10

11. Ubah elemen h menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

12. Ubah elemen d menjadi nol menggunakan kunci elemen p.

13.Ubah elemen c menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

14. Ubah elemen g menjadi nol menggunakan kunci elemen k.

15. Ubah elemen f menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K15

16. Ubah elemen b menjadi nol menggunakan kunci elemen f.

17. Ubah elemen a menjadi angka satu dengan cara: Invers Matriks 4x4 Metode OBE Kunci K17

Sehingga invers matriks C dan D yaitu:

$\Large C^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{272} &-\frac{15}{68} &\frac{25}{68} &-\frac{29}{68} \\ -\frac{7}{272} &-\frac{19}{68} &-\frac{9}{68} &\frac{5}{68} \\\frac{1}{68} &-\frac{3}{34} &\frac{5}{34} &\frac{1}{34} \\-\frac{15}{136} &-\frac{10}{17} &\frac{11}{17} &-\frac{8}{17} \end{bmatrix}$

$\Large D^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{160} &\frac{103}{480} &\frac{71}{480} &-\frac{1}{30} \\ \frac{1}{20} &\frac{1}{60} &-\frac{13}{60} &-\frac{11}{30} \\ -\frac{17}{80} &-\frac{11}{5} &-\frac{27}{5} &-\frac{48}{5} \\ \frac{1}{5} &-\frac{1}{10} &-\frac{1}{5} &-\frac{3}{10}\end{bmatrix}$

Invers Matriks 4×4: OBE Kunci K > OBE Genap

Kalkulus 1

Selasa, 16 Oktober 2018

Matriks dengan menggunaan metode Gouss-jordan dan Cramer

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Cramer

Kamis, 11 Oktober 2018

Matrik Elementer

Matriks Partisi

Sabtu, 06 Oktober 2018

Determinan Dengan Menggunakan Metode OBE

Matriks 3×3

Sifat-Sifat Determinan

Kunci

Matriks Segitiga Atas

Matriks Segitiga Bawah

B. Invers Matriks 4×4 Metode OBE Kunci K

Matriks 4×4

Invers Matriks 4×4

Kunci

“K”

Limit tak hingga

Laporkan Penyalahgunaan